题目内容
15.已知x、y∈(-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),且x•y=1,则$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$的最小值为( )A. | $\frac{20}{7}$ | B. | $\frac{12}{7}$ | C. | $\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$ | D. | $\frac{16-4\sqrt{2}}{7}$ |
分析 利用柯西不等式可得(m+n)($\frac{{a}^{2}}{m}$+$\frac{{b}^{2}}{n}$)=(a+b)2.由题意,$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{2}{2-\frac{1}{2}{y}^{2}}$≥$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}}{(2-{x}^{2})+(2-\frac{1}{2}{y}^{2})}$,即可得出结论.
解答 解:利用柯西不等式可得(m+n)($\frac{{a}^{2}}{m}$+$\frac{{b}^{2}}{n}$)=(a+b)2.
由题意,$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{2}{2-\frac{1}{2}{y}^{2}}$≥$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}}{(2-{x}^{2})+(2-\frac{1}{2}{y}^{2})}$=$\frac{8}{4-({x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2})}$
≥$\frac{8}{4-\sqrt{2}xy}$=$\frac{8}{4-\sqrt{2}}$=$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$.
故选:C.
点评 本题考查柯西不等式的运用,考查求最小值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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