Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC, AB⊥BC, BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE, AC, DE,得到如图所示的空间几何体．

　　

(1)求证：AB⊥平面ADC；

(2)若AD＝1，AB＝，求点B到平面ADE的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）证明DC⊥AB，AD⊥AB，即可得到AB⊥平面ADC.

（2）因为AB＝，AD＝1，所以BD＝，依题意△ABD∽△DCB，得到CD＝，利用等体积法即可.

详解：(1)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

又BD⊥DC，DC平面BCD，所以DC⊥平面ABD.

因为AB平面ABD，所以DC⊥AB.

又AD⊥AB，DC∩AD＝D，AD，DC平面ADC，所以AB⊥平面ADC.

(2)因为AB＝，AD＝1，所以BD＝.

依题意△ABD∽△DCB，所以＝，即＝.

所以CD＝.

故BC＝3.

由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，

所以AE＝＝.

同理DE＝＝.

所以S△ADE＝×1×＝.

因为DC⊥平面ABD，

所以VA—BCD＝CD·S△ABD＝.

设点B到平面ADE的距离为d，

则d·S△ADE＝VB—ADE＝VA—BDE＝VA—BCD＝，

所以d＝，即点B到平面ADE的距离为.