Question

【题目】已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设定点，当P点在C上何处时，的值最小，并求最小值及点P的坐标；

（3）若弦过焦点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4（3）1，

【解析】分析：（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线方程；（2）设点在抛物线的准线上的射影为点，根据抛物线定义知,要使的值最小，必三点共线，从而可得结果；（3），设 ， ，根据焦半径公式可得 ，利用韦达定理化简可得结果.

详解：（1）由已知易得，

则求抛物线的标准方程C为.

（2）设点P在抛物线C的准线上的摄影为点B，

根据抛物线定义知

要使的值最小，必三点共线.

可得，.即

此时.

（3），设

.