Question

【题目】已知命题P:在R上定义运算：x y=(1-x)y.不等式x （1-a)x<1对任意实数x恒成立;命题Q:若不等式≥2对任意的x∈ N*恒成立.若P∧ Q为假命题,P∨ Q为真命题,求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】

【解析】

分别求出p、q为真时，实数a的取值范围，通过p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p、q有且只有一个是真命题，分类讨论，求出求实数a的取值范围.

由题意知,x (1-a)x=(1-x)(1-a)x,

若命题P为真,(1-a)x2-(1-a)x+1>0对任意实数x恒成立,

∴①当1-a=0即a=1时,1>0恒成立,∴a=1.

②当1-a≠0时,

∴-3<a<1.

综合①②得,-3<a≤1.

若命题Q为真,∵x>0,∴x+1>0,

则(x2+ax+6)≥2(x+1)对任意的x∈N*恒成立,

即a≥-+2对任意的x∈N*恒成立,

令f(x)=-+2,只需a≥f(x)max,

∵f(x)≤-2+2=-4+2=-2,

当且仅当x=(x∈N*),即x=2时取等号.

∴a≥-2.

∵P∧Q为假命题,P∨Q为真命题,

∴P,Q中必有一个真命题,一个假命题.

若P为真Q为假,则解得- 3<a<-2,

若P为假Q为真,则

∴a>1.

综上可得a取值范围为(-3,-2)∪(1,+∞).