Question

7．以下四个命题中：
①若命题“?x₀∈R，使得x₀²+ax₀+1≤0成立”为真命题，则a的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）；
②设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且其图象关于直线x=0对称，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数；
③已知p：x≥k，q：$\frac{3}{x+1}$＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（2，+∞）．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 根据二次函数的图象和性质，求出使命题“?x₀∈R，使得x₀²+ax₀+1≤0成立”为真命题的a的取值范围，可判断①；
根据函数f（x）图象关于直线x=0对称，求出函数的解析式，结合余弦函数的图象和性质，可判断②；
求解不等式$\frac{3}{x+1}$＜1，结合p是q的充分不必要条件，求出实数k的取值范围，可判断③．

解答 解：①若命题“?x₀∈R，使得x₀²+ax₀+1≤0成立”为真命题，则△=a²-4≥0，解得a∈（-∞，-2]∪[2，+∞），即a的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞），故①正确；
②设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），由其图象关于直线x=0对称，则φ=$\frac{π}{3}$，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数，故②错误；
③由命题p：x≥k，命题q：$\frac{3}{x+1}$＜1?$\frac{3}{x+1}$-1=$\frac{2-x}{x+1}$＜0?$\frac{x-2}{x+1}＞0$?x＜-1，或x＞2，如果p是q的充分不必要条件，则k＞2，即实数k的取值范围是（2，+∞），故③正确．
故真命题的个数为2个，
故选：B

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．