Question

【题目】某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：

策略：环境整治，“虫害指数”数列满足；

策略：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足；

当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.

（1）设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？

（2）设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除

【解析】

（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数，比较它们的大小可得结论；

（2）由（1）可知，最优策略为策略，得，凑配出数列是等比数列，求得通项，由可解得的最小值．

（1）由题意可知，使用策略时，；使用策略时，

令，即当时，使用策略第二周严重程度更小；当时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当时，使用策略第二周严重程度更小.

（2）由（1）可知，最优策略为策略，即，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，所以，即，令，可得，所以虫害最快在第9周解除.