题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设、
为曲线
上位于第一,二象限的两个动点,且
,射线
,
交曲线
分别于点
,
.求
面积的最小值,并求此时四边形
的面积.
【答案】(1):
,
:
.(2)
面积的最小值:
,四边形
的面积为:
.
【解析】
(1)将曲线消去参数即可得到
的普通方程,将
,
代入曲线
的极坐标方程即可;
(2)由(1)得曲线的极坐标方程,设
,
,
,
利用方程可得
,再利用基本不等式得
,根据题意知
,进而可得四边形
的面积.
(1)由曲线的参数方程为
(
为参数)
消去参数得
即曲线的极坐标方程为:
,化简为:
的极坐标方程为
可得,
根据极坐标与直角坐标的互化公式:
故:,
曲线的直角坐标方程:
.
(2)设
:
,
,
故
根据均值不等式可得:,
当且仅当(即
)时取“=”.
,
此时
故所求四边形的面积为.
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