题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
,点
分别是棱
上的点满足
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中点
,连接
、
,由平面几何的知识可得
、
,再由线面垂直的判定与性质即可得证;
(Ⅱ)过点作
交
的延长线于点
,连接
,过点
作
交
于点
,由面面垂直的判定与性质可得
平面
,即可得
是所求线面角,由平面几何的知识结合余弦定理可得线段
、
的长度,即可得解.
(Ⅰ)证明:取的中点
,连接
、
,因为
,
故,
且
,所以
平面
,
又因为平面
,故
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,且
平面
,
故平面平面
,过点
作
交
的延长线于点
,连接
,
由平面平面
可得
平面
,
过点作
交
于点
,
所以平面
,即
是
与平面
所成的角.
过点作
交
于点
,连接
、
,
因为,
,
所以即
,
所以,所以
,
因为,所以
,
,
所以,
,
由,
得
,
,
又由得
,
所以由余弦定理得,
故,
所以有,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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