题目内容
【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征
和严重急性呼吸综合征
等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒
是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为
，现有
例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混在一起化验；
方案三: 平均分成两组化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若
，求
个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率；
（2）若，现将该例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?
（3）若对例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）
.
【解析】
（1）可求得
个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；
（2）分别计算出方案一、二、三中将该
例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；
（3）求出方案二的数学期望，可得出关于
的不等式，进而可求得实数的取值范围.
（1）由题意可知，个疑似病例均为阴性的概率为
，
因此，该混合样本呈阳性的概率为
；
（2）方案一：逐个检验，检验次数为
；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为
，则随机变量的可能取值为
、
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
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所以，方案二的期望为
；
方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为，概率为
；若呈阳性则检测次数为
，概率为.
设方案三的检测次数为随机变量
，则的可能取值为
、、
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
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所以，方案三的期望为
.
比较可得
，故选择方案二最“优”；
（3）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，
，
，
随机变量的分布列如下表所示：
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所以，随机变量的数学期望为
，
由于“方案二”比“方案一”更“优”，则
，
可得
，即
，解得
，
故当时，方案二比方案一更“优”.
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