题目内容
【题目】五面体
中，
是等腰梯形，
，
，
，
，平面
平面.
（1）证明：
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
(1) 连接
，取
中点为
，则
,可得
为平行四边形，
为等边三角形，
，
，由题意平面
平面
，且交线为
，
平面
，
又
，
，可得结论；
（2）以
为原点，
分别为轴
，
轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知
. 可得
，
，
.平面的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，求
的值后用
公式，可得答案.
解：（1）连接，取中点为，则，
为平行四边形，
，
.
为等边三角形，，
.
,
平面平面，且交线为，
平面，
.
又
，
平面.
（2）以为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内，过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知.
则，，.
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则
取
，得
，
，
结合图形可知二面角
的余弦值为
.
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