题目内容

【题目】[选修4-4：极坐标与参数方程]

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若射线 与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值

【答案】(1) 的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为. (2)

【解析】

(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，，

将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.

（1）由得，

将代入得：

，故曲线的极坐标方程为.

由得，

将代入得，故曲线的直角坐标方程为.

（2）设点、的极坐标分别为，，

将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，

则 ，其

中为锐角，且满足，，当时，取最大值，

此时，

练习册系列答案
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【题目】为评估设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

93

合计

件数

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：

①；②；③，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备的性能等级.

（2）将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“次品”，将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数的数学期望.

【题目】在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，且.M是棱SB的中点.

（Ⅰ）求证：面SCD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求的最大值.

【题目】曲线.给出下列结论:

①曲线关于原点对称;

②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;

③曲线只经过个整点(即横纵坐标均为整数的点).

其中,所有正确结论的序号是( )

A.①②B.②C.②③D.③

【题目】已知函数,其中,,且的最小值为,的图像的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求函数的解析式和单调递增区间;

（2）在中,角,,所对的边分别为,,.且,求.

【题目】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

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（2）设曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求三条曲线，，所围成图形的面积.

【题目】已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设图象在点处的切线与的图象相切，求的值；

（3）若函数存在两个极值点，，且，求的最大值．

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

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