Question

12．若实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，则$\sqrt{{{（a-c）}^2}+{{（b-d）}^2}}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，可得b+a²-3lna=0，c-d+2=0．分别设y=f（x）=3lnx-x²（x＞0），y=x+2．设直线y=x+2与曲线y=3lnx-x²（x＞0）相切于点P（x₀，y₀）．利用导数的几何意义可得切线的斜率、切点，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：∵实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，c-d+2=0．
分别设y=f（x）=3lnx-x²（x＞0），y=x+2．
设直线y=x+2与曲线y=3lnx-x²（x＞0）相切于点P（x₀，y₀）．
则f′（x）=$\frac{3}{x}-2x$，f′（x₀）=$\frac{3}{{x}_{0}}$-2x₀=1，解得x₀=1，∴y₀=-1．
∴P（1，-1）．
∴点P到直线y=x+2的距离d=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
则$\sqrt{{{（a-c）}^2}+{{（b-d）}^2}}$的最小值为$2\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了转化能力与计算能力，属于中档题．