题目内容
(本题满分13 分)
已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 =" 4x" 的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点,点C 在右准线l上,BC//x 轴.
(1)求椭圆的标准方程,并指出其离心率;
(2)求证:线段EF被直线AC 平分.
已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 =" 4x" 的焦点重合,短轴长为2.椭圆的右准线l与x轴交于E,过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点,点C 在右准线l上,BC//x 轴.
(1)求椭圆的标准方程,并指出其离心率;
(2)求证:线段EF被直线AC 平分.
(1)
(2) 线段EF被直线AC平分。
(2) 线段EF被直线AC平分。
解:(1)由题意,可设椭圆的标准方程为……1分
的焦点为F(1,0)
……………………3分
所以,椭圆的标准方程为
其离心率为 ……………………5分
(2)证明:∵椭圆的右准线1的方程为:x=2,
∴点E的坐标为(2,0)设EF的中点为M,则
若AB垂直于x轴,则A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1)
∴AC的中点为
∴线段EF的中点与AC的中点重合,
∴线段EF被直线AC平分,…………………………6分
若AB不垂直于x轴,则可设直线AB的方程为
则…………………………7分
把
得 ………………8分
则有………………9分
∴
……………………10分
∵
∴
∴A、M、C三点共线,即AC过EF的中点M,
∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分
的焦点为F(1,0)
……………………3分
所以,椭圆的标准方程为
其离心率为 ……………………5分
(2)证明:∵椭圆的右准线1的方程为:x=2,
∴点E的坐标为(2,0)设EF的中点为M,则
若AB垂直于x轴,则A(1,y1),B(1,-y1),C(2,-y1)
∴AC的中点为
∴线段EF的中点与AC的中点重合,
∴线段EF被直线AC平分,…………………………6分
若AB不垂直于x轴,则可设直线AB的方程为
则…………………………7分
把
得 ………………8分
则有………………9分
∴
……………………10分
∵
∴
∴A、M、C三点共线,即AC过EF的中点M,
∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分
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