题目内容
【题目】已知,其中
.
(1)求函数的极大值点;
(2)当时,若在
上至少存在一点
,使
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)1;(2).
【解析】试题分析:(1)求导,对进行
四类讨论,得到极大值的情况;(2)在
上至少存在一点
,使
成立,等价于当
时,
,结合(1)的单调性情况,求
,得到
的取值范围.
试题解析:
(1)由已知
,
当,即
时,
在
上递减,在
上递增,无极大值;
当,即
时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增,所以
在
处取极大值;
当,即
时,
在
上递增,无极大值;
当时,即
时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增,故
在
处取极大值.
综上所述,当或
时,
无极大值;
当时,
的极大值点为
;
当时
的极大值点为
.
(2)在上至少存在一点
,使
成立,等价于当
时,
.
由(1)知,①当时,函数
在
上递减,在
上递增,
∴,
∴要使成立,必须使
成立或
成立,
由,解得
,
由,解得
.
∵,∴
.
②当时,函数
在
上递增,在
上递减,
∴,
综上所述,当时,在
上至少存在一点
,使
成立.
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