题目内容

4.(1)证明柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(2)若a,b∈R+且a+b=1,用柯西不等式求$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值.

分析 (1)用不等式的左边减去右边,并化简为(ad-bc)2≥0,从而得证不等式成立.
(2)由条件利用柯西不等式求得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值.

解答 解:(1)证明:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(ad-bc)2≥0
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(2)由柯西不等式可得(12+12)[($\sqrt{3a+1}$)2+($\sqrt{3b+1}$)2]≥($\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$)2
∵a+b=1,∴($\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$)2 ≤10,∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值为$\sqrt{10}$.

点评 本题主要考查用比较法证明不等式,柯西不等式的应用,属于基础题.

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