题目内容
4．（1）证明柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）若a，b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值．
分析 （1）用不等式的左边减去右边，并化简为（ad-bc）2≥0，从而得证不等式成立．
（2）由条件利用柯西不等式求得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值．
解答 解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．
（2）由柯西不等式可得（12+12）[（$\sqrt{3a+1}$）2+（$\sqrt{3b+1}$）2]≥（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$）2 ．
∵a+b=1，∴（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$）2 ≤10，∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值为$\sqrt{10}$．
点评 本题主要考查用比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．
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16．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：
由表中数据得到回归直线方程$\widehat{y}$=-2x+a．据此预测当气温为-4°C时，用电量为68（单位：度）．
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