题目内容
9.设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=$\frac{4}{3}$an-$\frac{1}{3}×$2n+1+$\frac{2}{3}$,n∈N*.(Ⅰ)求证数列{an+2n}是等比数列,并求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)设T(n)=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$,n∈N*,证明:$\sum_{i=1}^{n}$T(i)<$\frac{3}{2}$;
(Ⅲ)设R(n)=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i}$,n≥2,证明:$\frac{n}{2}$<R($\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$)<n.
分析 (Ⅰ)n=1时,a1=S1,当n>1时,an=Sn-Sn-1,化简整理由等比数列的定义可得数列{an+2n}是等比数列,运用通项公式可得数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求出Sn,并分解,求得Tn=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$),由裂项相消求和,即可得证;
(Ⅲ)R($\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$)=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$=1+($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)+…+($\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$),再将它放缩,即可得证.
解答 证明:(Ⅰ)n=1时,a1=S1=$\frac{4}{3}$a1-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$,
解得a1=2,
当n>1时,an=Sn-Sn-1=$\frac{4}{3}$an-$\frac{1}{3}×$2n+1+$\frac{2}{3}$-($\frac{4}{3}$an-1-$\frac{1}{3}×$2n+$\frac{2}{3}$),
化简可得an=2n+4an-1,
即有an+2n=4(an-1+2n-1),
则{an+2n}为首项为4,公比为4的等比数列,
即有an+2n=4n,
即an=4n-2n;
(Ⅱ)Sn=$\frac{4}{3}$an-$\frac{1}{3}×$2n+1+$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$(2n+1-1)(2n+1-2)=$\frac{2}{3}$(2n+1-1)(2n-1),
Tn=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{({2}^{n+1}-1)({2}^{n}-1)}$=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$),
$\sum_{i=1}^{n}$T(i)=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{4-1}$+$\frac{1}{4-1}$-$\frac{1}{8-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$)
=$\frac{3}{2}$($\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$)<$\frac{3}{2}$;
(Ⅲ)R($\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$)=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$
=1+($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)+…+($\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$)
<1+($\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$)=n,
R($\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$)=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$
=1+($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$)+…+($\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$)
>$\frac{1}{2}$+($\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$)+($\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$)+…+($\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$)=$\frac{n}{2}$,
∴当n≥2,$\frac{n}{2}$<R($\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$)<n.
点评 本题考查数列的通项和求和的关系,同时考查等比数列的通项公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,以及放缩法证明不等式的方法,属于中档题.
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{1}{7}$ | D. | $\frac{1}{9}$ |