题目内容

14．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上任意一点，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值是3，最小值为2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）若A（0，2），且过F2的动直线m交椭圆C于B，C，求△ABC的面积的最大值．

分析 （Ⅰ）通过椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，利用数量积定义及余弦定理可知y=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-a）2+a2-2c2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知A（0，2）为椭圆C的上顶点，F2（0，-1），依题意设动直线m方程为：y=kx-1，并代入椭圆C方程、利用韦达定理可知x1+x2=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x1x2=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，进而|BC|=12•$\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$、点A到直线m的距离d=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，利用S△ABC=$\frac{1}{2}$•|BC|•d计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵P是椭圆上任一点，
∴|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，
∴y=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$
=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$||$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cos∠F1PF2
=$\frac{1}{2}$（$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}$+$|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$-4c2）
=$\frac{1}{2}$[$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}$+（2a-|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|）2-4c2）
=（|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-a）2+a2-2c2，
当|PF1|=a时，y有最小值a2-2c2，
∴a2-2c2=2；
当|PF2|=a-c或a+c时，y有最大值a2-c2，
∴a2-c2=3，
解得：a2=4，c2=1，
∴b2=a2-c2=3，
∴椭圆C标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（I）可知A（0，2）为椭圆C的上顶点，F2（0，-1），
依题意设动直线m方程为：y=kx-1，并代入椭圆C方程，
整理得：（4+3k2）x2-6kx-9=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则
x1+x2=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x1x2=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
∴|BC|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{\frac{6k}{4+3{k}^{2}}）}^{2}-4•（-\frac{9}{4+3{k}^{2}}）}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{4+3{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$
=12•$\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，
∵点A到直线m的距离d=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$•|BC|•d
=$\frac{1}{2}$•12•$\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=18•$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$，
显然函数f（x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{4+3{x}^{2}}$关于y轴对称，且f（x）max=f（0）=$\frac{1}{4}$，
∴△ABC的面积的最大值为：18•$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题是一道关于直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

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