Question

1．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B-CD-A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是 （　　）

• A． 当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值
• B． 当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值
• C． 当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值
• D． 当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值

Answer 1

分析 过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有θ的三角函数求得最值．

解答 解：如图，

设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，则$∠BCD=\frac{π}{2}-θ$（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），
过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，
∴AG=bsinθ，BH=acosθ，CG=bcosθ，CH=asinθ，则HG=CH-CG=asinθ-bcosθ，
∴d=|AB|=$\sqrt{A{G}^{2}+B{H}^{2}+H{G}^{2}}$=$\sqrt{{b}^{2}si{n}^{2}θ+{a}^{2}co{s}^{2}θ+（asinθ-bcosθ）^{2}}$
=$\sqrt{{b}^{2}si{n}^{2}θ+{a}^{2}co{s}^{2}θ+{a}^{2}si{n}^{2}θ+{b}^{2}co{s}^{2}θ-absin2θ}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-absin2θ}$．
∴当$θ=\frac{π}{4}$，即当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值．
故选：B．

点评 本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了两条异面直线上两点间的距离，运用数学转化思想方法是解答该题的关键，是中档题．