题目内容

8.已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$,$\overrightarrow{{x}_{2}}$,$\overrightarrow{{x}_{3}}$,$\overrightarrow{{x}_{4}}$,$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$,$\overrightarrow{{y}_{2}}$,$\overrightarrow{{y}_{3}}$,$\overrightarrow{{y}_{4}}$,$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成,记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$,Smin表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题中
(1)S有5个不同的值;(2)若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$则Smin与|$\overrightarrow{a}$|无关;(3)若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$则Smin与|$\overrightarrow{b}$|无关;(4)若|$\overrightarrow{b}$|>4|$\overrightarrow{a}$|,则Smin>0;(5)若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|,Smin=8|$\overrightarrow{a}$|2,则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$.正确的是(  )
A.(1)(2)B.(2)(4)C.(3)(5)D.(1)(4)

分析 依题意,可求得S有3种结果:①S=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$;②S=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$;③S=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$.可判断(1)错误;进一步分析有S1-S2=S2-S3=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$,即S中最小为S3;再对(2)(3)(4)(5)逐一分析即可得答案.

解答 解:∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成,
∴S=xiyi可能情况有三种:①S=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$;②S=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$;③S=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$.故(1)错误;
∵S1-S2=S2-S3=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$,∴S中最小为S3
若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$,则Smin=S3=${\overrightarrow{b}}^{2}$,与|$\overrightarrow{a}$|无关,故(2)正确;
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$,则Smin=S3=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$,与|$\overrightarrow{b}$|有关,故(3)错误;
若|$\overrightarrow{b}$|>4|$\overrightarrow{a}$|,则Smin=S3=4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$>-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$>-$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=0,故(4)正确;
若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|,Smin=S3=8$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$cosθ+4$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=8$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$,
∴2cosθ=1,∴θ=$\frac{π}{3}$,
即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$,(5)错误.
综上所述,命题正确的是(2)(4),
故选:B.

点评 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应用,考查推理、分析与运算的综合应用,属于难题.

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