Question

18．在直角坐标系平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数，对于平面上任意一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点，则对任意偶数n，用n表示向量$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$的坐标为（　　）

• A． （n，$\frac{4（{2}^{n}-1）}{3}$）
• B． （n，$\frac{{2}^{n+2}}{3}$）
• C． （$\frac{n}{2}$，$\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}$）
• D． （$\frac{n}{2}$，$\frac{{2}^{n+1}}{3}$）

Answer 1

分析 设n为任意偶数，通过$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{4}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-2}{A}_{n}}$，转化为$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$+$\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}$$+…+\overrightarrow{{P}_{n-1}{P}_{n}}$，利用坐标运算求解即可．

解答 解：设n为任意偶数，则$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{2}}$+$\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{4}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{n-2}{A}_{n}}$，
由条件可知$\overrightarrow{{A}_{2k-2}{A}_{2k}}$=2$\overrightarrow{{P}_{2K-1}{P}_{2K}}$，所以$\overrightarrow{{A}_{0}{A}_{n}}$=2（$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$+$\overrightarrow{{P}_{3}{P}_{4}}$$+…+\overrightarrow{{P}_{n-1}{P}_{n}}$）=2[（1，2）+（1，2³）+…+（1，2^n-1）]=2$（\frac{n}{2}，\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}）$=$（n，\frac{4（{2}^{n}-1）}{3}）$．
故选：A．

点评 本题考查向量的坐标运算，数列求和，考查计算能力．