Question

18．已知$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y+12≥0}\\{4x+3y-12≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，表示的平面区域为Ω，
（1）求平面区域为Ω内整点的个数；
（2）若圆C在区域为Ω内，且面积最大，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，由满足不等式求得整解；
（2）直接求出三角形的内切圆方程得答案．

解答 解：（1）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y+12≥0}\\{4x+3y-12≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

可行域内的整点坐标为（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（1，1），（1，2），（2，1），（0，2），（0，3），
（0，4），（-1，0），（-2，0），（-3，0），（-1，1），（-1，2），（-2，1）共17个；
（2）若圆C在区域为Ω内，且面积最大，则圆为三角形ABC的内切圆，圆心坐标为（0，$\frac{3}{2}$），半径为$\frac{3}{2}$．
则圆C的方程为${x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}=\frac{9}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了三角形内切圆方程的求法，是中档题．