Question

【题目】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)

A. B. C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】A

【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，根据椭圆和双曲线的定义可知，设，则由余弦定理可得， ① 在椭圆中，①化简为即② ， 在双曲线中，①化简为即③，由②③可得，由柯西不等式得，，故选A.

【方法点晴】本题主要考查利用椭圆与双曲线定义、性质和离心率，以及柯西不等式求最值，属于难题.求解与圆锥曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.离心率问题，先构造的齐次式，从而构造出关于的等式与不等式求解.