Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1 ， ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，点D是棱B1C1的中点．
（1）求证：AB1∥平面A1DC；
（2）求证：A1D⊥平面BB1C1C．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC1交A1C于O点，连结OD，

∵四边形AA1C1C是正方形，∴O是AC1的中点，

又点D是棱B1C1的中点，

∴OD∥AB1，∵AB1平面A1DC，OD平面A1DC，

∴AB1∥平面A1DC

（2）证明：∵侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，

∴A1A⊥A1C1，A1A⊥A1B1，又A1C1平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，A1B1∩A1C1=A1，

∴A1A⊥平面A1B1C1，∵AA1∥CC1，

∴CC1⊥平面A1B1C1，∵A1D平面A1B1C1，

∴CC1⊥A1D．

又∵A1B1=AB=1，A1C1=AC=1，

∴A1B1=A1C1，∵D是B1C1的中点，

∴A1D⊥B1C1，

又CC1平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，

∴A1D⊥平面BCC1B1

【解析】（1）连结AC1交A1C于O点，连结OD，由中位线定理可得OD∥AB1 ， 故而AB1∥平面A1DC；（2）由正方形的性质得出A1A⊥A1C1 ， A1A⊥A1B1 ， 故A1A⊥平面A1B1C1 ， 于是CC1⊥平面A1B1C1 ， 得出CC1⊥A1D．又三线合一得出A1D⊥B1C1 ， 故而A1D⊥平面BB1C1C．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．