题目内容

19.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB=PC,M、N分别为AB、BC的中点.

(1)求证:AC∥平面PMN;
(2)求证:MN⊥BC.

分析 (1)由已知可证MN∥AC,根据直线与平面平行的判定定理即可证明AC∥平面PMN.
(2)易证明PM⊥AB,PN⊥BC,由平面PAB⊥平面ABC,可证PM⊥BC,从而证明BC⊥平面PMN,MN?平面PMN,即可得证.

解答 证明:(1)因为M、N分别为AB、BC的中点,所以MN∥AC…(3分)
又因为MN?平面PMN,AC?平面PMN,所以AC∥平面PMN…(7分)
(2)因为PA=PB=PC,M、N分别为AB、BC的中点,
所以PM⊥AB,PN⊥BC,
又因为平面PAB⊥平面ABC,PM?平面PAB,平面PAB∩平面ABC=AB,
所以PM⊥平面ABC…(10分)
又BC?平面ABC,
所以PM⊥BC,
所以BC⊥平面PMN,
因为MN?平面PMN,
所以MN⊥BC…(14分)

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.

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