Question

7．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，M为侧棱PC的中点．

（1）求异面直线AM与PD所成角的余弦值；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，求出$\overrightarrow{AM}=（1，2，1），\overrightarrow{PD}=（0，4，-2）$，利用向量的数量积直接求解异面直线AM与PD所成角的余弦值．
（2）求出平面BPC的法向量，平面MBD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B-PC-D的余弦值．

解答 （理科）解：
（1）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），C（2，4，0），M（1，2，1），…2'∵$\overrightarrow{AM}=（1，2，1），\overrightarrow{PD}=（0，4，-2）$，∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{PD}＞=\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PD}}}{{|{\overrightarrow{AM}}||{\overrightarrow{PD}}|}}=\frac{0+8-2}{{\sqrt{6}×2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
∴异面直线AM与PD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$…7'
（2）设平面BPC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），∵$\overrightarrow{BC}=（0，4，0），\overrightarrow{BP}=（-2，0，2）$，并且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BP}$，∴$\left\{\begin{array}{l}4y=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$，令x=1得z=1，y=0，∴平面MBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，1）…9'
设平面DPC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），∵$\overrightarrow{DC}=（2，0，0），\overrightarrow{DP}=（0，-4，2）$，并且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DP}$，∴$\left\{\begin{array}{l}2a=0\\-4b+2c=0\end{array}\right.$，令b=1得c=2，a=0，∴平面MBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，2）…11'
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，…13'
∴二面角B-PC-D的余弦值为$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…14'

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．