题目内容

11.已知函数y=ax3-x在(-1,1)上是单调减函数,则实数a的取值范围(  )
A.a<$\frac{1}{3}$B.a=1C.a=$\frac{1}{3}$D.a≤$\frac{1}{3}$

分析 根据函数单调性和导数之间的关系进行求解.

解答 解:若函数y=ax3-x在(-1,1)上是单调减函数,
则y′≤0在(-1,1)上恒成立,
即3ax2-1≤0在(-1,1)上恒成立,
即3ax2≤1,
若a≤0,满足条件.
若a>0,则只要当x=1或x=-1时,满足条件即可,
此时3a≤1,即0<a≤$\frac{1}{3}$,
综上a≤$\frac{1}{3}$,
故选:D.

点评 本题主要考查函数单调性的应用,利用导数和函数单调性的关系转化为f′(x)≤0恒成立是解决本题的关键.

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