Question

已知函数f(x)＝2^x＋k·2^－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2^－x成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）k＝－1.   （2）(0，＋∞)

(1)∵f(x)＝2^x＋k·2^－x是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即2^－x＋k·2^x＝－(2^x＋k·2^－x)，
∴(1＋k)＋(k＋1)·2^2x＝0对一切x∈R恒成立，
∴k＝－1.
(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2^－x，
即2^x＋k·2^－x＞2^－x成立，
∴1－k＜2^2x对x≥0恒成立，
∴1－k＜(2^2x)_min，
∵y＝2^2x在[0，＋∞)上单调递增，
∴(2^2x)_min＝1，
∴k＞0.
∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．