题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，
，
，
，
．
(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；
(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角
的余弦值．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)
.
【解析】
（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．
解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，
，
，由余弦定理得
，
∴
，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，CD
底面ABCD，∴PA⊥CD，
又
，∴CD⊥平面PCA.
又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.
(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
设
，
，
则
∴x=0，
，
，即点E的坐标为
∴
又平面ABCD的一个法向量为
∴sin45°
解得
∴点E的坐标为
，∴
，
，
设平面EAB的法向量为
由
得
令z=1，得平面EAB的一个法向量为
∴
.
又二面角E-AB-D的平面角为锐角，
所以，二面角E-AB-D的余弦值为
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