题目内容
【题目】已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
经过原点的切线方程；
（Ⅱ）若在
时，有
恒成立，求
的最小值．
【答案】（1）切线方程为：
；（2）
的最小值为
.
【解析】
（1）先求导数，根据导数几何意义以及两点连线斜率公式列方程解得切点以及斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先求
最大值
，再根据不等式
构造函数
，最后根据导数确定
最值，即得结果.
（Ⅰ）当
时，
，
设切线与曲线相切于
，则切线斜率为
得切线方程为
，由它过原点，代入
可得
，即切线方程为：
．
（Ⅱ）由题知
①当
时，恒有
，得在
上单调递增，无最值，不合题意；
②当
时，由
，得
，在
上，有，单调递增；
在
上，有
，单调递减；
则在取得极大值，也为最大值，
由题意
恒成立，即
（）
（），再令，得
知在
时，
，递减；知在
时，
，递增；
，即的最小值为．
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