题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
经过原点的切线方程;
(Ⅱ)若在时,有
恒成立,求
的最小值.
【答案】(1)切线方程为:;(2)
的最小值为
.
【解析】
(1)先求导数,根据导数几何意义以及两点连线斜率公式列方程解得切点以及斜率,最后根据点斜式得切线方程,(2)先求最大值
,再根据不等式
构造函数
,最后根据导数确定
最值,即得结果.
(Ⅰ)当时,
,
设切线与曲线相切于
,则切线斜率为
得切线方程为,由它过原点,代入
可得,即切线方程为:
.
(Ⅱ)由题知
①当时,恒有
,得
在
上单调递增,无最值,不合题意;
②当时,由
,得
,在
上,有
,
单调递增;
在上,有
,
单调递减;
则在
取得极大值,也为最大值,
由题意恒成立,即
(
)
(
),再令
,得
知在时,
,
递减;知在
时,
,
递增;
,即
的最小值为
.

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