Question

5．设关于x的函数y=2sin²x-2asinx-2a+2014的最小值为f（a），试确定满足f（a）=2008的a值，并对此时的a值求y的最大值．

Answer 1

分析 把原函数配方，看作关于sinx的二次函数，根据对称轴分三类讨论，求出最小值，然后由最小值等于2008求得a的值，代回原函数求得y的最大值．

解答 解：y=2sin²x-2asinx-2a+2014=$2（si{n}^{2}x-asinx+\frac{{a}^{2}}{4}）-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+2014$
=$2（sinx-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+2014$．
当$\frac{a}{2}≤-1$，即a≤-2时，f（a）=$2（-1-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+2014=2016$；
当$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2时，f（a）=$2（1-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+2014=2016-4a$；
当-1$＜\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜2时，f（a）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+2014$．
由2016-4a=2008，解得a=2，符合a≥2；
由$-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+2014=2008$，解得a=-6或a=2，不合题意．
∴a=2．
此时y=2（sinx-1）²+2008，当sinx=-1时，y_max=2016．

点评 本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．