题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的最值;
(2)当时,对任意
都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,设函数
,数列
满足
,
,求证:
,
.
【答案】(1),无最大值.(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律确定单调性,进而确定最值(2)当时
,利用导数易得
为单调递增函数,且
,因此
(3)先证明
为单调递增函数,再利用数学归纳法证明
试题解析:(1)∵,∴
,
∴,令
,得
,则
随
变化如下:
所以,无最大值.
(2)设,则
,
当时,且
,
,函数
在
上是增加的,
∴,
成立;
当时,令
,得
,当
,
,
函数在
上是减小的,而
,所以,当
时,
,
所以不恒成立,
综上,对任意都有
恒成立时,
.
(3)∵,∴
,
又,当
时,
,∴
在
上是增加的,
所以,当
时,∵
,∴
,
而,∴
成立.
,假设
时,
成立,那么当
时,
,
而,∴
成立.
综合,
得:
,
成立.
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