Question

19．无穷等差数列{a_n}的各项均为整数，首项为a₁，公差为d，S_n是其前n项和，3，21，15是其中的三项，给出下列命题，真命题有（　　）
①对任意满足条件的d，存在a₁，使得99一定是数列{a_n}中的一项．
②对任意满足条件的d，存在a₁，使得30一定是数列{a_n}中的一项．
③存在满足条件的数列{a_n}，使得对任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立．

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用等差数列的公式，分别讨论前n项和3、21、15的具体项数，然后进行推理即可．首先根据条件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，得出结论；②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a_n}中的一项，得出结论．③利用等差数列的前n项和公式化简S_2n=4S_n，得出结论．

解答 解：要使等差数列的公差最大，则3，15，21因为相邻的前n项和，此时对应两项为15-3=12，21-15=6，所以d≤6．
①99-21=78能被6整除，且$\frac{78}{6}$=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{a_n}中的一项，所以①正确．
②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a_n}中的一项，所以②错误．
③如果有S_2n=4S_n，那么由等差数列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d]，化简得到，d=2a₁，所以只要满足条件d=2a₁的数列{a_n}，就能使得对任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，所以③正确．
故选：A．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，解题的关键是根据条件得出公差．考查学生分析问题，解决问题的能力，综合性较强，难度较大．