Question

5．设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．
若函数y=x²图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=$\sqrt{2}$；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=e^x上两点，且x₁-x₂=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出y′、点A、B的坐标，由导数的几何意义求出切线的斜率k_A，k_B的值，由两点间的距离公式求出|AB|，求出代入φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$求值即可；
（2）求出y′=e^x，由定义求出两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化简，根据恒成立求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，y=x²，则y′（x）=2x，且A（0，0），B（1，1），
∴k_A=2×0=0，k_B=2×1=2，且|k_A-k_B|=2，
又|AB|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（2）由y=e^x得y′（x）=e^x，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=e^x上两点，且x₁-x₂=1，
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}^{2}}}$，
∵m•φ（A，B）＜1恒成立，∴m|${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$|＜$\sqrt{1+（{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}^{2}}$，
则m＜$\frac{\sqrt{1+{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}^{2}}}{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}$=$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$，
∵$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$＞1，∴m≤1，
则实数m的取值范围是（-∞，1]，
故答案为：$\sqrt{2}$；（-∞，1]．

点评 本题考查新定义的函数的性质与应用问题，导数的几何意义，两点间的距离公式，以及恒成立问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，属于中档题．