题目内容

20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（　　）
A．af（a）＜bf（b）B．af（a）=bf（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（a）≥bf（b）

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，[x∈（0，+∞）]，利用导数研究其单调性，再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，[x∈（0，+∞）]，
∵xf′（x）-f（x）＞0，
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，
∵a＜b，∴$\frac{f（a）}{a}$＜$\frac{f（b）}{b}$，
∴bf（a）＜af（b），
∴af（a）＜bf（a）＜af（b）＜bf（b）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$在R上满足：对任意x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，2]B．（-∞，-2]C．[2，+∞）D．[-2，+∞）
11．把函数f（x）=-2tan（x+$\frac{π}{4}$）的图象向左平移a（a＞0）个单位得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）是奇函数，则a的最小值为$\frac{3π}{4}$．
8．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3Sn=an+1-2，则公比q=（　　）
A．3B．4C．5D．6
15．已知复数z1=a+i，z2=1+i，其中a∈R，$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$是纯虚数，则实数a的取值为（　　）
A．-lB．1C．-2D．2
5．设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．
若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=$\sqrt{2}$；
设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=ex上两点，且x1-x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1]．
12．以下是解决数学问题的思维过程的流程

图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（　　）
A．①-分析法，②-反证法B．①-分析法，②-综合法
C．①-综合法，②反证法D．①-综合法，②-分析法

若函数，且，．

（1）求的最小值及对应的值；

（2）取何值时，，且．

（1）讨论函数的单调性，并证明当时，；

（2）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

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