Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点A作斜率为的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P为的中点，是否存在定点Q，对于任意的都有？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）.

【解析】

（1）根据条件可直接求出答案

（2）联立直线l的方程与椭圆的方程消元，用表示出点坐标，然后可得P点坐标，假设存在顶点，使得，则，即，然后推出，即可得到答案

（3）首先得出M点横坐标为，然后可得，然后用基本不等式求解即可.

（1）由椭圆的左顶点，则，又，则，

又，

∴椭圆的标准方程为：；

（2）由直线l的方程为，

由，整理得：，

由是方程的根，由韦达定理可知：，则，

当，，

∴，

由P为的中点，

∴P点坐标，

直线l的方程为，令，得，

假设存在定点，使得，

则，即，

，，

∴

即恒成立，

∴，即，

∴顶点Q的坐标为；

（3）由，则的方程为，

，则M点横坐标为，

由，可知，

，

当且仅当，即时，取等号，

∴当时，的最小值为.