Question

19．数列{a_n}中，S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1）．
（1）证明：数列{a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）当k=-1时，求和a₁²+a₂²+…+a_n²．

Answer 1

分析 （1）由S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1），当n=1时，a₁=S₁=1+ka₁，解得a₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{k}{k-1}$，利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）当k=-1时，a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$.${a}_{n}^{2}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1），∴当n=1时，a₁=S₁=1+ka₁，解得a₁=$\frac{1}{1-k}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1+ka_n-（1+ka_n-1），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{k}{k-1}$，
∴数列{a_n}为等比数列，首项为$\frac{1}{1-k}$，公比为$\frac{k}{k-1}$．
（2）解：由（1）可得：a_n=$\frac{1}{1-k}•（\frac{k}{k-1}）^{n-1}$．（k≠0，k≠1）．
（3）解：当k=-1时，a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
${a}_{n}^{2}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{4}$．
∴和a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．