Question

【题目】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟.

（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;

（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?

Answer 1

【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.

【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；

（II）列出目标函数z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益．

试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则， 满足的数学关系式为

该二次元不等式组等价于

做出二元一次不等式组所表示的平面区域

（II）设公司的收益为元，则目标函数为：

考虑，将它变形为.

这是斜率为，随变化的一族平行直线，当截距最大，即最大.

又因为满足约束条件，所以由图可知，

当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.

解方程组得,

代入目标函数得.

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.