题目内容
【题目】在四棱锥
中，底面
为平行四边形， 
， 
， 
， 
点在底面
内的射影
在线段
上，且
， 
， 
为
的中点， 
在线段
上，且
．
（Ⅰ）当
时，证明：平面
平面
；
（Ⅱ）当平面
与平面
所成的二面角的正弦值为
时，求四棱锥
的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）接
，作
交
于点
，则四边形
为平行四边形，在
中由余弦定理得
，由勾股定理可得
，在
中， 
， 
分别是
， 
的中点，结合中位线及平行的传递性可得
，故可得
平面
，由线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）以
为坐标原点， 
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得： 
，由棱锥的体积公式可得结果.
试题解析：（Ⅰ）证明：连接
，作
交
于点
，则四边形
为平行四边形，
，在
中， 
， 
， 
，由余弦定理得
．
所以
，从而有
.
在
中， 
， 
分别是
， 
的中点，
则
， 
，
因为
，所以
.
由
平面
， 
平面
，
得
，又
， 
，
得
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（Ⅱ）以
为坐标原点， 
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
， 
， 
， 
， 
， 
.
平面
的一个法向量为
.
设平面
的法向量为
，
由
， 
，得
令
，得
.
由题意可得， 
，
解得
，
所以四棱锥
的体积
.
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