题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
,
点在底面
内的射影
在线段
上,且
,
,
为
的中点,
在线段
上,且
.
(Ⅰ)当时,证明:平面
平面
;
(Ⅱ)当平面与平面
所成的二面角的正弦值为
时,求四棱锥
的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)接,作
交
于点
,则四边形
为平行四边形,在
中由余弦定理得
,由勾股定理可得
,在
中,
,
分别是
,
的中点,结合中位线及平行的传递性可得
,故可得
平面
,由线面平行判定定理可得结论;(Ⅱ)以
为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量与二面角平面角之间关系可得:
,由棱锥的体积公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接,作
交
于点
,则四边形
为平行四边形,
,在
中,
,
,
,由余弦定理得
.
所以,从而有
.
在中,
,
分别是
,
的中点,
则,
,
因为,所以
.
由平面
,
平面
,
得,又
,
,
得平面
,又
平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)以为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
.
平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
由,
,得
令
,得
.
由题意可得,
,
解得,
所以四棱锥的体积
.
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