Question

11．若f（cosx）=coskx（k∈Z），则f（sinx）=sinkx，则整数k应满足的条件为k=4n+1，n∈Z．

Answer 1

分析 由三角函数的诱导公式可得f（sinx）=f（cos（$\frac{π}{2}$-x））=cosk（$\frac{π}{2}$-x），再由两角差的余弦公式，化简整理，即可得到所求k的条件．

解答 解：f（cosx）=coskx（k∈Z），
则f（sinx）=f（cos（$\frac{π}{2}$-x））=cosk（$\frac{π}{2}$-x）
=cos（$\frac{kπ}{2}$-kx）=sinkx，
即有cos$\frac{kπ}{2}$coskx+sin$\frac{kπ}{2}$sinkx=sinkx，
即有sin$\frac{kπ}{2}$=1，cos$\frac{kπ}{2}$=0，
则$\frac{kπ}{2}$=2nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z，
即为k=4n+1，n∈Z．
故答案为：k=4n+1，n∈Z．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式的运用，属于中档题．