题目内容
【题目】已知数列{an}满足 , ,n∈N* .
(1)求证:数列 为等比数列;
(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t成等差数列,且am﹣1,as﹣1,at﹣1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明:因为 ,
所以 .
所以 .
因为 ,则 .
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列
(2)解:由(1)知, ,
所以 .
假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,
则有
由 与 ,
得 .
即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s.
因为m+t=2s,所以3m+3t=2×3s.
因为 ,当且仅当m=t时等号成立,
这与m,s,t互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件
【解析】(1)由 ,变形可得 ,从而可证明数列 为等比数列;(2)假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,则有 ,代入条件,利用基本不等式,即可得出结论.
【考点精析】关于本题考查的等比关系的确定和数列的通项公式,需要了解等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.