题目内容

1.已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a∈R).
(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值,并直接写出函数f(x)的单调区间;
(2)令F(x)=f(x)-g(x),讨论函数y=F(x)在区间[-1,3]上零点的个数.

分析 (1)求出函数y=f(x)的导数,求出极值点,通过与y=g(x)有相同的极值点相同,求a的值,利用导数值的符号直接写出函数y=f(x)的单调区间;
(2)化简方程f(x)-g(x)=0,构造函数,通过a的讨论,利用判别式是否为0,即可求解在区间[-1,3]上实数解的个数,即函数零点的个数.

解答 解:(1)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
则f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),
令f'(x)=0,得x=a或x=$\frac{a}{3}$,而二次函数g(x)在x=$\frac{a-1}{2}$处有极大值,
∴$\frac{a-1}{2}$=a或$\frac{a-1}{2}$=$\frac{a}{3}$;
综上:a=3或a=-1.
当a=3时,y=f(x)的单调增区间是(-∞,1],[3,+∞),减区间是(1,3),
当a=-1时,y=f(x)的单调增区间是(-∞,-1)或(-$\frac{1}{3}$,+∞),减区间是(-1,-$\frac{1}{3}$);
(2)F(x)=f(x)-g(x)=x(x-a)2+x2-(a-1)x-a,
=x(x-a)2+(x-a)(x+1),
=(x-a)[x2+(1-a)x+1],
令h(x)=x2+(1-a)x+1,则△=(a+1)(a-3)
1°当-1<a<3时,△<0,h(x)=0无解,故原方程的解为x=a∈[-1,3],满足题意,
即原方程有一解,函数y=F(x)在区间[-1,3]有唯一零点;
2°当a=3时,△=0,h(x)=0的解为x=1,故原方程有两解,x=1,3,故函数y=F(x)在区间[-1,3]有2个零点;
3°当a=-1时,△=0,h(x)=0的解为x=-1,故原方程有一解,x=-1,故函数y=F(x)在区间[-1,3]有1个零点
4°当a>3时,△>0,由于h(-1)=a+1>4,h(0)=1,h(3)=13-3a
若13-3a<0,即a>$\frac{13}{3}$时,h(x)=0在[-1,3]上有一解,故函数y=F(x)在区间[-1,3]有1个零点;
若13-3a=0,即a=$\frac{13}{3}$时,h(x)=0在[-1,3]上有两解,故函数y=F(x)在区间[-1,3]有2个零点;
若13-3a>0,即3<a<$\frac{13}{3}$时时,h(x)=0在[-1,3]上两解,故函数y=F(x)在区间[-1,3]有2个零点;
5°当a<-1时,△>0,由于h(-1)=a+1<0,h(0)=1,h(3)=13-3a>0,
h(x)=0在[-1,3]上有一解,故函数y=F(x)在区间[-1,3]有1个零点;
综上可得:当3≤a≤$\frac{13}{3}$时时,函数y=F(x)在[-1,3]上有2个零点;当a<3或a>$\frac{13}{3}$时,函数y=F(x)在[-1,3]上有有1个零点.

点评 本题考查函数与导数的应用,函数的极值以及函数的单调区间,函数的零点的判断,考查分类讨论思想的应用,转化思想以及计算能力,属于难题.

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