题目内容
4.已知P为圆x2+y2=9上的任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围( )A. | [-1,15] | B. | [-1,9] | C. | [3,15] | D. | [0,9] |
分析 设出P(x,y)为圆x2+y2=9上的任意一点,利用数量积公式得到$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的不等式,求最值.
解答 解:由已知N(1,0),设P(x,y),EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,如图
所以$\overrightarrow{NE}=-\overrightarrow{NF}$,则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=($\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}$)•($\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}$)=$\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NF}+{\overrightarrow{NP}}^{2}-\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{NP}$
=$-{\overrightarrow{NF}}^{2}+{\overrightarrow{NP}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=(x-1)2+y2-1=9-2x,x∈[-3,3],
所以当x=-3时,9-2x最大值为15,当x=3时,9-2x的最小值为3;
所以$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围是[3,15];
故选:C.
点评 本题考查了向量数量积的运算;解答本题的关键是设出P的坐标,将问题转化为求一次函数的最值问题.
练习册系列答案
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14.计算sin77°cos47°-sin13°cos43°的值等于( )
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
15.下列比较大小正确的是( )
A. | sin(-$\frac{π}{18}$)$<sin(-\frac{π}{10})$ | B. | sin(-$\frac{π}{18}$)$>sin\frac{π}{10}$ | C. | sin(-$\frac{π}{18}$)$>sin(-\frac{π}{10})$ | D. | sin$\frac{π}{18}$$>sin\frac{π}{10}$ |