Question

AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°。
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（3）求二面角P－BD－A的大小。

Answer 1

（1）在△PAD中，PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA²+AD²＝PD²故AD⊥PA
又∵AD⊥AB，PA∩AB＝A
∴AD⊥平面PAB
（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角。
在△PAB中，由余弦定理得PB＝＝
∵AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB
∴△PBC为直角三角形
故 tan∠PCB＝＝
异面直线ＰＣ与ＡＤ所成的角为arc tan
（3）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE。
∵AD⊥平面PAB  AD  平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
又 PH⊥AB 则PH⊥平面ABCD
∴HE是PE在平面ABCD内的射影
∵BD⊥HE ∴BD⊥PE（三垂线定理）
故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角
PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1
BH＝AB－AH＝2，BD＝＝
由Rt△PEH∽Rt△BAD 得HE＝·BH ＝
在Rt△PHE中，tan∠PEH =  =
所以二面角P－BD－A的大小为arc tan

略