Question

【题目】如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
（1）求证：B1D1∥面A1BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1 ， 所以BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD．
而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，
所以B1D1∥平面A1BD．
（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，
所以AC⊥面BB1D，
而MD面BB1D，所以MD⊥AC．
（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中点N，D1C1的中点N1 ， 连接NN1交DC1于O，连接OM．
因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1 ，
所以BN⊥面DCC1D1 ．
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM面DMC1 ， 所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．

【解析】（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．
（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．
（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1 ， 连接NN1交DC1于O，BN⊥DC面ABCD⊥面DCC1D1 ，
BN⊥面DCC1D1 ． 而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D平面DMC1⊥平面CC1D1D．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．