题目内容
【题目】如图,三棱柱中,侧棱
平面
,
为等腰直角三角形,
,
,
分别是
,
的中点,且
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若,求点
到平面
的距离 .
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)要证线面垂直,一般先证线线垂直,一个在中,利用勾股定理证得
,然后由于三棱柱的侧棱与底面垂直,从而侧面与底面垂直,而底面是等腰直角三角形,
与
垂直,从而
与侧面
垂直,于是有
,由线面垂直的判定定理可得;
(Ⅱ)要求点到平面
的距离,在四面体
中
的面积易求,可把此四面体看作以
为顶点,以
为底面的三棱锥,这时棱锥的高与底面积易求,从而由体积法可求得题设距离.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连接.
∵是等腰直角三角形
斜边
的中点,所以
,
∵平面
,
,
平面
,
,
又∵,
∴平面
,
∵平面
,∴
.
设,则
,
,
,
∴,∴
.
又,∴
平面
.
(Ⅱ)解:取中点
,连接
,则
,∴
,
平面
,
平面
,
,
又∵,∴
平面
,
,
,
,
,解得
.
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