Question

【题目】如图所示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD与平面ABE垂直，M为CE的中点．
（1）求证：AM⊥BE；
（2）求三棱锥C﹣BED的体积．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知条件可知，DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中点N，连接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N为EB的中点，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM平面AMN，∴AM⊥BE…（6分）
（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AE⊥平面ABCD，即AE⊥平面BCD．
又∵S△BCD=×BC×BA=×1×2=1，
∴三棱锥C﹣BED的体积=VE﹣BCD=×S△BCD×EA=×1×2=

【解析】（1）取EB的中点N，连接AN、MN，证明DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，MN∥BC，利用CB⊥平面ABE，可得MN⊥平面ABE，进而证明BE⊥平面AMN，即可证明AM⊥BE；
（2）证明AE⊥平面BCD，利用三棱锥C﹣BED的体积=VE﹣BCD=×S△BCD×EA，即可求三棱锥C﹣BED的体积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．