题目内容
【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,其焦距为
,点
在椭圆
上,
,直线
的斜率为
(
为半焦距)·
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆的切线
交椭圆
于
两点(
为坐标原点),求证:
;
(3)在(2)的条件下,求的最大值
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由题意知 ,
,解得
即可.
(2)(i)当切线与坐标轴垂直时,满足,(ii)当切线与坐标轴不垂直时,设圆的切线为y=kx+m,得
,A(x1,y1),B(x2,y2),利用
,即可证明.
(3 )当切线与坐标轴垂直时|OA||OB|=4,当切线与坐标轴不垂直时,由(2)知,且
,即可得OA|
|OB|的最大值.
(1)连接,由题意知
,
设
即
解得
,
椭圆的方程为
.
(2)(i)当切线与坐标轴垂直时,交点坐标为,满足
.
(ii)当切线与坐标轴不垂直时,设切线为
由圆心到直线距离为
联立椭圆方程得
恒成立,设
满足 .
(3 )当切线与坐标轴垂直时
当切线与坐标轴不垂直时,由(2)知
.
令
当且仅当时等号成立,
综上所述,的最大值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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