Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，任意，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)求导后分与两种情况分析函数的单调性即可.

(2)参变分离与可得,再令,求导得,再分析的单调性,分,与三种情况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得的解析式,再求导分析单调性与范围即可.

解：（1）∵

∴,∵,

∴①当时,的减区间为,没有增区间

②当时,的增区间为,减区间为

（2）原不等式.

∵,,∴,

令,

令

在上递增；

①当时,即,∵,所以时,,

∴在上递增；∴.

②当,即时,,∴在上递减；

∴

③当时,又在上递增；

存在唯一实数,使得,即，

则当时.

当时.

∴.

∴.

令在上递增,

,∴.

综上所述,.