Question

【题目】已知函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：时，.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）通过换元法，将不等式恒成立转化为恒成立，其中.构造函数，利用导数研究的单调性，结合三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.

（2）利用分析法，将所要证明的不等式转化为证明，结合（1）的结论以及基本不等式，证得上述不等式成立.

（1）.

记，原不等式转化为恒成立，其中.

令，则，

记，则.

①当时，注意到，故恒成立，从而.

于是，函数在上单调减，，符合题意；

②当时，考虑时，恒成立，即函数在上单调增，所以，时，，不符合题意，舍去.

③当时，，，不符合题意，舍去.

综上，实数的取值范围是.

（2）.

由（1）的过程知，即.

故要证，只需证（*）.

事实上，由（1）的结论知，当时，恒成立，即时，，而，即（*）成立，

等号当且仅当时取到，故原不等式获证.