题目内容
【题目】对于无穷数列,若对任意
,满足
且
(
是与
无关的常数),则称数列
为
数列.
(1)若(
),判断数列
是否为
数列,说明理由;
(2)设,求证:数列
是
数列,并求常数
的取值范围;
(3)设数列(
,
),问数列
是否为
数列?说明理由.
【答案】(1)是
数列,见解析;(2)
;证明见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)由,得到
,整理后可得当
为偶数时
,进而可得得到数列
不是
数列;
(2)由,得到
时,
,此时数列
单调递增,当
时,
,此时数列
单调递减,得到数列
的最大项,由此求得常数
的取值范围;
(3)当时,对于
有
,可得当
时数列
是
数列,当
时,数列
不是
数列,当
时,数列
不是
数列.
(1)由,
可得,
当为偶数时,
,所以数列
不是
数列.
(2)证明:因为,
所以当时,即
时,
,此时数列
单调递增,
当时,
,此时数列
单调递减,
则数列的最大项为
,所以
的取值范围内是
.
(3)①当时,当
时,
,
由,解得
,
即当时,符合
,
若,则
,此时
,
于是,
由对于,有
,所以当
时,数列
是
数列;
②当时,取
,则
,
由,所以当
时,数列
不是
数列;
③当时,取
,则
,
由,所以当
时,数列
不是
数列.
综上可得:当时,数列
是
数列;当
时,数列
不是
数列.
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